Norme d’un vecteur : définition et explications

En mathématique et en physique, on est souvent amené à calculer la norme d’un vecteur que ce soit dans le domaine de la géométrie ou autre. La norme d’un vecteur est une notion qui peut parfois porter à confusion. De quoi il est réellement question et quelle est son utilité ? Quelles sont les formules qui permettent de calculer la norme d’un quelconque vecteur.

Norme d’un vecteur : c’est quoi ?

La norme d’un vecteur est tout simplement la mesure de la grandeur du vecteur dans un espace vectoriel euclidien. Selon la convention, la norme d’un vecteur est notée entre deux double barres. Ainsi, la norme du vecteur u est représentée par IIuII. Il est à noter que le terme de norme est principalement utilisé dans le domaine des mathématiques. Dans le domaine de la physique, la grandeur d’un vecteur est plutôt appelée module ou intensité.

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Par ailleurs, dans les mathématiques, la norme d’un vecteur ne comporte pas d’unité, ce qui est le cas en physique ou les vecteurs représentent souvent des forces. Dans tous les cas, la norme d’un vecteur est toujours, pour simplifier, la distance entre son origine ou point d’application et son extrémité. Pour rappel, l’origine du vecteur est le point à partir duquel il est tracé. Un vecteur, dans un repère orthonormé, dispose d’un sens et d’une direction (représentée par la flèche).

La norme d’un vecteur ne peut pas être négative. Ainsi, la norme d’un vecteur u est la même que celle de son opposé. Ce qui veut dire que IIuII = II-uII. Il faut également noter que la norme d’un vecteur est toujours un réel positif, par contre, elle peut être nulle ou égale à zéro. Pour le calcul de la norme d’un vecteur dans un espace vectoriel euclidien, il est nécessaire de connaître ses composantes et appliquer le théorème de Pythagore.

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Détermination de la norme d’un vecteur

Ainsi, la norme d’un vecteur est la distance entre son origine et son extrémité. Pour un vecteur AB, on peut tout simplement considérer que la norme est la longueur du segment AB. Le calcul de la norme d’un vecteur dans un espace à deux dimensions est relativement facile. Mais il est essentiel de revenir sur la définition élémentaire d’un vecteur et de ses propriétés.

Ainsi, un quelconque vecteur dans l’espace à deux dimensions, dispose deux composantes, que l’on note souvent respectivement (x, y) et (a, b). “x” est la projection de l’extrémité du vecteur sur l’axe des abscisses, l’axe horizontal Ox, de l’extrémité du vecteur. “y” est la projection de son extrémité sur l’axe des ordonnées Oy, l’axe vertical.

Calcul de la norme d’un vecteur dans l’espace à deux dimensions

Le calcul de la norme d’un vecteur se fait à partir de ses composantes Ox et Oy que l’on nomme souvent a et b pour faciliter les choses. Par ailleurs, ces notations permettent de faire facilement le rapprochement avec le triangle rectangle et le théorème de Pythagore. Cependant, pour faciliter le calcul de la norme d’un vecteur, il faut faire en sorte de faire coïncider son origine à l’origine O du repère orthonormé pour ne pas avoir à alourdir la formule.

Théorème de Pythagore et norme d’un vecteur

Ainsi, avec l’origine du vecteur u en O, on obtient un triangle rectangle formé par O est la projection de l’extrémité de u  sur l’axe Oy ou Ox. Pour simplifier, la norme du vecteur correspond à l’hypoténuse de ce triangle rectangle. Ce qui fait que IIuII est la racine carrée de la somme des carrés de a et de b. A noter que le résultat de cette équation est toujours une valeur absolue. Raison pour laquelle la norme du vecteur est toujours un réel positif.

Un exemple simple de calcul de la norme d’un vecteur

Rien de tel qu’un exemple simple pour comprendre très comment effectuer le calcul de la norme d’un vecteur. Pour cela, prenons un vecteur quelconque dont les composantes ou coordonnées dans un repère plan orthonormé sont (5 ;12). Selon la formule déterminée plus haut, la norme de ce vecteur est la racine carrée de 5² + 12² ce qui donne la racine carré 169. La norme du vecteur ayant comme composantes (5 ;12) est donc 13.

Calculer la norme d’un vecteur dans un repère à trois dimensions

Dans un repère orthogonal à trois dimensions, la définition de la norme d’un vecteur ne change pas. Il s’agit toujours de la mesure de la grandeur du vecteur. Sa notation est toujours IIII et il s’agit toujours d’un réel positif. Seulement, le vecteur dispose d’une troisième composante dans ce repère, la composante liée au troisième axe, l’axe des “z”. En prenant en compte le vecteur AB, il est facile de démontrer que sa norme est donnée par la formule IIABII est la racine carré de la somme (xb – xa)² + (yb – ya)²+ (zb – za)²  .

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